nhận xét. Với câu (b) của ví dụ này, ta thấy có mở ra thêm các đa thức chứa dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng vấn đề đó sẽ gây khó khăn hơn trong việc giải quyết, vìphương trình đựng dấu trị tuyệt vời nhất thì thường nặng nề phân tích thành nhân tử. Nhưng mà nhờ việcsử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài toán này đã có được giải lập cập và khá nhẹnhàng. Khi ấy, ta chỉ cần chuyển những lượng ấy về đúng vị trí và sử dụng cách thức nhânlượng liên hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp được cho phép ta dám đổi khác các biểu thức một biện pháp tựdo hơn, thoải mái hơn, không bị gò bó những quá ở việc lựa chọn biểu thức thật thích hợp hayđánh giá bán như trong số cách khác




Bạn đang xem: Nhân liên hợp là gì

*
*

Bạn đã xem câu chữ tài liệu Phương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ, để thiết lập tài liệu về máy bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: What Is The Meaning Of " Come Down To Là Gì ? Come Down To Sth Có Nghĩa Là Gì

http://onluyentoan.vnPHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢPGIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈLê Phúc Lữ12Phương pháp nhân lượng liên hợp là 1 trong những cách giải thân quen được áp dụng không hề ít trongcác câu hỏi giải phương trình với hệ phương trình vô tỉ. Giải pháp giải đơn giản và dễ dàng và tác dụng nàykhông những giúp ta tiếp cận việc theo hướng thoải mái và tự nhiên hơn mà còn hỗ trợ ta tự sản xuất đượcnhiều bài xích toán mới mẻ và lạ mắt một giải pháp dễ dàng, trải qua đó rất có thể tự tập luyện thêm những kỹ năngcho mình. Trong nội dung bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu rõ hơn về phương thức nhân lượngliên hợp cũng tương tự những điều cần chăm chú khi áp dụng nó.1 kỹ năng cần ghi nhớ và một vài bài toán mở đầu1.1 kỹ năng và kiến thức cần nhớỞ lịch trình THCS, bọn họ đã khá quen thuộc với những việc về thay đổi biểu thứcvô tỉ bằng cách dùng đại lượng cân xứng để khử căn nhằm làm xuất hiện nhân tử. Điều đóđược thực hiện nhờ những hằng đẳng thức cơ bạn dạng sau3:• a2 − b2 = (a− b)(a+ b)⇔ a− b = a2 − b2a+ b.• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)⇔ a− b = a3 − b3a2 + ab+ b2.• a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)⇔ a− b = a4 − b4(a+ b)(a2 + b2).• · · ·• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).Sử dụng phát minh này, trong những bài toán về phương trình cùng hệ phương trình, họ có thểnhóm hoặc thêm bớt các đại lượng phù hợp vào những biểu thức cất căn rồi làm lộ diện cácđa thức. Nhờ câu hỏi phân tích những đa thức kia thành nhân tử làm xuất hiện thêm ra vượt số chung, ta1Sinh viên ngôi trường Đại học FPT, thành phố Hồ Chí Minh. Nickname chienthan nghỉ ngơi Diễn bầy Cùng nhau vượtĐại dương 2Bài viết được trình bày lại bởi chương trình biên soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị chúng ta ghi rõnguồn của lúc đăng thiết lập trên các trang website khác.3Ở phía trên ta tạm đọc là những biểu thức đã thỏa mãn điều kiện của phép chia.1http://onluyentoan.vn2 Lê Phúc Lữđưa câu hỏi đã mang đến về các phương trình tích không còn xa lạ và trường đoản cú đó cách xử trí tiếp. Tất yếu là cónhiều yếu hèn tố không giống cần chăm chú nhưng với những bài toán thường thì thì ý tưởng phát minh tổng quát lác là:Giả sử vào phương trình, hệ phương trình yêu cầu xét, họ có biểu thức dạng√P (x) vớiP (x) là một đa thức làm sao đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được x = a là 1 trong những nghiệm củanó. Lúc đó, ta sẽ cung cấp biểu thức trên đại lượng −√P (a) để có được biến đổi sau√P (x)−√P (a) =P (x)− p. (a)√P (x) +√P (a).Đa thức p. (x) − p (a) nghỉ ngơi trên tử rõ ràng hoàn toàn có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khoản thời gian làmcác quá trình thêm bớt tương tự vào mọi đại lượng còn lại, họ sẽ dành được ngay nhântử cần tìm.Như thế, bao quát hơn, nếu như ta gồm phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) khẳng định trên miền Dvà ta đang biết nó có nghiệm là x = a ∈ D thì ta bao gồm thể biến hóa đưa nó về dạng (x− a)g(x) = 0và quy về giải pháp xử lý phương trình new g(x) = 0.Trong các trường thích hợp thì g(x) sẽ vô nghiệm trên D, tuy vậy một số trường đúng theo khác thìnó sẽ vẫn tồn tại nghiệm nữa và điều này đòi hỏi vô số cách xử lý ưa thích hợp.1.2 những ví dụ minh họaVí dụ 1. Giải phương trình sau:√x+ 1 +√x+ 4 +√x+ 9 +√x+ 16 =√x+ 100.Lời giải. Điều kiện: x > −1. Ta thấy x = 0 là 1 nghiệm của phương trình nên có thể tiếnhành đổi khác như sau(√x+ 1− 1)+ (√x+ 4− 2)+ (√x+ 9− 3)+ (√x+ 16− 4) = (√x+ 100− 10)⇔ (x+ 1)− 12√x+ 1 + 1+(x+ 4)− 22√x+ 4 + 2+(x+ 9)− 32√x+ 9 + 3+(x+ 16)− 42√x+ 16 + 4=(x+ 100)− 102√x+ 100 + 10⇔ x√x+ 1 + 1+x√x+ 4 + 2+x√x+ 9 + 3+x√x+ 16 + 4=x√x+ 100 + 10⇔x = 01√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10Xét phương trình:1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10. (1)Ta có√x+ 100 + 10 >√x+ 1 + 1 > 0 nên1√x+ 1 + 1>1√x+ 100 + 10,suy ra1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4>1√x+ 100 + 10, ∀x > −1và cho nên phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x = 0.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 3Ví dụ 2. Giải những phương trình sau:(a) 3√x+√x+ 3 = 3; (b) 3√2x+ 1 + 3√x = 1.Lời giải. (a) Điều kiện xác định: x > −3. Phương trình vẫn cho tương đương với(3√x− 1)+ (√x+ 3− 2) = 0⇔ x− 13√x2 + 3√x+ 1+x− 1√x+ 3 + 2= 0⇔ (x− 1)(13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2)= 0⇔x− 1 = 013√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0Từ đây, ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, lúc đó theo các chuyển đổi ởtrên, ta có13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0.Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra do√x+ 3 + 2 > 0 và3√x2 + 3√x+ 1 =(3√x+12)2+34> 0.Vậy phương trình đã cho gồm một nghiệm độc nhất vô nhị x = 1.(b) Phương trình sẽ cho tương tự với(3√2x+ 1− 1)+ 3√x = 0⇔ (2x+ 1)− 13√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 2x3√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 3√x 2 3√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0⇔x = 023√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0Dễ thấy23√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 > 0, ∀x ∈ Rnên từ bỏ trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm độc nhất của phương trình đã cho.Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình sau:√x2 + 15 = 33√x2 +√x2 + 8− 2.Lời giải. Phương trình đang cho tương đương với(√x2 + 15− 4) = 3( 3√x2 − 1)+ (√x2 + 8− 3)⇔ x2 − 1√x2 + 15 + 4=3(x2 − 1)3√x4 +3√x2 + 1+x2 − 1√x2 + 8 + 3.http://onluyentoan.vn4 Lê Phúc LữNhư vậy, ta tất cả x2 = 1 hoặc1√x2 + 15 + 4=33√x4 +3√x2 + 1+1√x2 + 8 + 3.Tuy nhiên, do√x2 + 8 + 3 3√2. Phương trình đang cho tương đương với(3√x2 − 1− 2)+ (x− 3) = (√x3 − 2− 5)⇔ (x− 3)<1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4>=(x− 3)(x2 + 3x+ 9)√x3 − 2 + 5⇔x = 31 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5Xét phương trình:1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 . (1)Ta bao gồm các đánh giá sau:• V p = x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 >x2 + 3x+ 9√x3 + 5> x2 + 3x+ 9x2+x2+ 5= 2 +2(2x− 1)x2 + x+ 10> 2.• V T 3√2, ta có V T 9.Thật vậy, ta có(x2 + 4x+ 7)<4 + 2 3√3x+ 5 +3√(3x+ 5)2>=<(x+ 2)2 + 3> <(3√3x+ 5 + 1)2+ 3>> 9và đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi{x+ 2 = 03√3x+ 5 + 1 = 0⇔ x = −2.Từ trên đây ta suy ra (1) gồm nghiệm độc nhất vô nhị x = −2. Vậy phương trình đã mang lại có tất cả hainghiệm là x = 1 cùng x = −2.Cách 2. Ta sẽ biến hóa phương trình đã mang đến theo cách khác ví như sau:x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 (x+ 1− 3√3x+ 5) = 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3<(x+ 1)3 − 3x− 5>(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3(x3 + 3x2 − 4)(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)21 + 3(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2 = 0.Biểu thức vào ngoặc vuông luôn dương với đa số x ∈ R bắt buộc ta suy ra phương trình đã mang đến cóhai nghiệm là x = 1 cùng x = −2.http://onluyentoan.vn6 Lê Phúc LữNhận xét. Ở cách đầu tiên của câu (b), bởi chỉ kiếm được một nghiệm của phương trình làx = 1 nên giải mã dẫn mang lại một phương trình khác nhưng mà ta đề xuất dùng bất đẳng thức reviews đểtìm nghiệm còn lại. Trong những khi đó, ở bí quyết 2, do đã tìm được cả nhì nghiệm của phương trình đãcho nên rất có thể chủ rượu cồn nhóm các hạng tử để khiến cho nhân tử tầm thường là (x− 1)(x+2), còn lạibiểu thức vào ngoặc đã luôn luôn dương với tất cả x nên việc giải phương trình coi như trả tất.Các cách phân tích để có được bí quyết nhóm trên đã được trình làng rõ ở các bài sau. Sau đây làcách thông dụng lúc giải việc này, đó đó là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cáchgiải đặc trưng dùng nhằm xử lý những bài phương trình bao gồm bậc nhị vế là nghịch hòn đảo của nhau.Cách 3. Phương trình sẽ cho có thể được viết dưới dạng(x+ 1)3 − 2 = 3 3√3x+ 5.Đặt 3√3x+ 5 = y + 1 thì ta bao gồm (y + 1)3 = 3x+ 5. Từ bỏ đây cùng từ phương trình sinh sống trên, ta gồm hệ{(x+ 1)3 = 3y + 5(y + 1)3 = 3x+ 5Trừ vế theo vế những phương trình, ta được(x− y) <(x+ 1)2 + (x+ 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3> = 0⇔ x = y(Do biểu thức vào ngoặc vuông luôn luôn dương với mọi x, y ∈ R). Cầm y = x ngược trở về vàohệ, ta được phương trình tương xứng là(x+ 1)3 = 3x+ 5.Giải ra và thử lại, ta cũng được các nghiệm x = 1 cùng x = −2.Ví dụ 5. Giải những phương trình sau:(a) (x+ 3)√2x2 + 1 = x2 + x+ 3; (b) (x+ 3)√x2 + 5 = 2x2 + 3x+ 1.Lời giải. (a) dễ thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình buộc phải ta chỉ việc xét x 6= −3là đủ. Lúc đó, phương trình vẫn cho có thể được viết lại dưới dạng√2x2 + 1 =x2 + x+ 3x+ 3⇔√2x2 + 1− 1 = x2x+ 3⇔ 2x2√2x2 + 1 + 1=x2x+ 3⇔x = 0 2√2x2 + 1 + 1=1x+ 3Từ phía trên ta suy ra x = 0 là một trong nghiệm của phương trình đang cho. Xét phương trình còn lại, tathấy phương trình này tương tự với√2x2 + 1 + 1 = 2x+ 6⇔ √2x2 + 1 = 2x+ 5⇔x > −522x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x⇔x > −52x2 + 10x+ 12 = 0⇔x > −52x = −5 +√13 ∨ x = −5−√13⇔ x = −5 +√13.Vậy phương trình đã cho gồm hai nghiệm là x = 0 cùng x = −5 +√13.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng phối hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 7(b) tương tự như bài trên, ta thấy x = −3 ko là nghiệm của phương trình. Xét x 6= −3, ta cóphương trình tương đương√x2 + 5 =2x2 + 3x+ 1x+ 3⇔√x2 + 5− 3 = 2x2 + 3x+ 1x+ 3− 3⇔ x2 − 4√x2 + 5 + 3=2(x2 − 4)x+ 3⇔x2 − 4 = 01√x2 + 5 + 3=2x+ 3Nếu x2 − 4 = 0 thì ta bao gồm x = ±2 và hai quý hiếm này thỏa mãn phương trình đang cho. Còn vớix2 − 4 6= 0 thì từ biến hóa trên, ta có1√x2 + 5 + 3=2x+ 3⇔ x+ 3 = 2√x2 + 5 + 6⇔ x− 3 = 2√x2 + 5⇔{x > 3x2 + 9− 6x = 4(x2 + 5) ⇔{x > 33x2 + 6x+ 11 = 0Rõ ràng không tồn tại giá trị làm sao của x vừa lòng hệ này. Và như thế, ta đi đến tóm lại phươngtrình đang cho bao gồm hai nghiệm là x = −2 với x = 2.Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:(a)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 4− 2x;(b)√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x;(c)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 2x.Lời giải. (a) Điều kiện: x > 1. Với đk này, ta dễ dàng thấy:• V T > √x+ 3 > 2 cùng đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1.• V p 6 2 với đẳng thức cũng xảy ra khi và chỉ khi x = 1.Do vậy, để rất có thể xảy ra trường vừa lòng V T = V p như đang nêu sinh sống đề bài thì ta phải bao gồm V T = V p. = 2,tức x = 1. Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm độc nhất x = 1.(b) Điều kiện: x > 1. Ta nhẩm được x = một là nghiệm của phương trình và điều này gợi đến tanghĩ cho việc biến đổi phương trình như sau√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = √x+ 3− 2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −(x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x.Ta thấy rằng với x > 1 thì vế trái của phương trình trên là một đại lượng ko âm, trongkhi đó vế phải luôn mang giá trị 6 0. Bởi đó, để rất có thể xảy ra được vệt đẳng thức như trênthì cả nhì đại lượng này bắt buộc đồng thời bằng 0, có nghĩa là x = 1. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhấtcủa phương trình vẫn cho.http://onluyentoan.vn8 Lê Phúc Lữ(c) Điều kiện: x > 1. Biến đổi tương trường đoản cú như trên, ta được√x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = (x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x⇔ √x− 1<1 + 2√x2 − 3x+ 5−√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x>= 0⇔√x− 1 = 01 + 2√x2 − 3x+ 5 =√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2xĐến đây, bằng cách giải phương trình sản phẩm nhất, ta kiếm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếpphương trình đồ vật hai, ta thấy1 + 2√x2 − 3x+ 5 = 1 +√2 > 1 +√2x2 > 1 + x.Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x− 1) + 1 > 2√x− 1. Vày vậy, ta có√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x6√x− 1(4x+ 3)2x6x2· (4x+ 3)2x=4x+ 34 2. Ta tất cả phương trình vẫn cho tương tự với2(x− 3) +(√x+ 6− 3√x− 2)= 0⇔ 2(x− 3) + (x+ 6)− 9(x− 2)√x+ 6 + 3√x− 2 = 0⇔ (x− 3)<1− 4√x+ 6 + 3√x− 2>= 0⇔ 0, ∀x ∈<−13, 6>nên trường hợp máy hai cấp thiết xảy ra. Từ đây ta suy ra phương trình đã mang đến chỉ bao gồm mộtnghiệm nhất là x = 5.Ví dụ 8. Giải các phương trình với bất phương trình sau:(a) 3√2x+ 2 + 3√2x+ 1 =3√2x2 + 3√2x2 + 1;(b)√3− x+√2 + x = x3 + x2 − 4x− 4 + |x|+ |x− 1|;(c) 2√x2 + x+ 1x+ 4+ x2 − 4 6 2√x2 + 1.Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở hai vế đều phải có dạng hàm số f(t) = 3√t+ 3√t+ 1 nên rất có thể dùngtính đối chọi điệu của hàm số để giải dễ dàng. Ở đây, ta dùng phương pháp nhân phối hợp nhằmlàm mở ra nhân tử tầm thường ở nhị vế. Trước hết, ta viết lại phương trình bên dưới dạng(3√2x2 + 1− 3√2x+ 2)+(3√2x2 − 3√2x+ 1)= 0.Bằng biện pháp nhân những lượng phối hợp tương ứng, ta có3√2x2 + 1− 3√2x+ 2 = 2x2 − 2x− 13√(2x2 + 1)2 + 3√(2x2 + 1)(2x+ 2) + 3√(2x+ 2)2=2x2 − 2x− 1Avà3√2x2 − 3√2x+ 1 = 2x2 − 2x− 13√(2x2)2 + 3√2x2(2x+ 1) + 3√(2x+ 1)2=2x2 − 2x− 1B.Do đó, phương trình đang cho tương đương với(2x2 − 2x− 1)(1A+1B)= 0.Tuy nhiên, do A, B > 0 phải từ trên đây ta có2x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1−√32∨ x = 1 +√32.Vậy phương trình vẫn cho bao gồm hai nghiệm là x = 1−√32và x = 1+√32.http://onluyentoan.vn10 Lê Phúc Lữ(b) Điều kiện: −2 6 x 6 3. Phương trình sẽ cho tương tự với(√3− x− |x− 1|)+ (√2 + x− |x|) = x3 + x2 − 4x− 4⇔ −x2 + x+ 2√3− x+ |x− 1| +−x2 + x+ 2√2 + x+ |x| = (x+ 2)(x+ 1)(x− 2)⇔ (2− x)(x+ 1)√3− x+ |x− 1| +(2− x)(x+ 1)√2 + x+ |x| + (x+ 2)(x+ 1)(2− x) = 0⇔ (2− x)(x+ 1)<1√3− x+ |x− 1| +1√2 + x+ |x| + (x+ 2)>= 0.Do 1√3−x+|x−1| +1√2+x+|x| + (x+ 2) > 0, ∀x ∈ <−2, 3> nên từ trên, ta có(2− x)(x+ 1) = 0⇔ x = −1 ∨ x = 2.Vậy phương trình vẫn cho gồm hai nghiệm là x = −1 cùng x = 2.(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình đang cho tương tự với2(√x2 + x+ 1x+ 4− 1)+ x2 − 3 6 2√x2 + 1− 1⇔ 2 ·x2+x+1x+4− 1√x2+x+1x+4+ 1+ x2 − 3 64x2+1− 12√x2+1+ 1⇔ 2 (x2 − 3)√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ (x2 − 3) + x2 − 3(2 +√x2 + 1)√x2 + 16 0.Và như thế, ta thu được(x2 − 3)<2√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ 1 +1(2 +√x2 + 1)√x2 + 1>6 0.Dễ thấy biểu thức trong lốt ngoặc trang bị hai luôn dương với đa số x > −4, vì vậy ta có thể viếtlại bất phương trình trên thànhx2 − 3 6 0⇔ −√3 6 x 6√3.Kết hợp với điều kiện xác định x > −4, ta nhận được T = <−√3, √3> là tập nghiệm của bấtphương trình đã cho.Nhận xét. Với câu (b) của lấy ví dụ này, ta thấy có mở ra thêm các đa thức chứa dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng điều này sẽ gây trở ngại hơn trong việc giải quyết, vìphương trình cất dấu trị tuyệt đối thì thường cạnh tranh phân tích thành nhân tử. Nhưng lại nhờ việcsử dụng cách thức nhân lượng liên hợp, việc này đã có giải hối hả và tương đối nhẹnhàng. Khi ấy, ta chỉ việc chuyển các lượng ấy về đúng vị trí và sử dụng cách thức nhânlượng liên hợp là đủ.Cách tiếp cận bởi nhân lượng liên hợp có thể chấp nhận được ta dám đổi khác các biểu thức một cách tựdo hơn, dễ chịu hơn, không xẩy ra gò bó nhiều quá ở vấn đề lựa chọn biểu thức thật tương thích hayđánh giá bán như trong số cách khác.